A labdarúgó-világbajnokság sorsolásának igazságtalansága

A legtöbb sportág világbajnoksága csoportkörös küzdelmekkel kezdődik. Ebben az esetben célszerű korlátozó feltételekkel biztosítani az azonos kontinensről érkező csapatok minél egyenletesebb elosztását a csoportok között – ahogy azt a kosárlabdában és a labdarúgásban teszik. E feltételek előírásakor azonban már nem egyszerű egy megengedett csoportbeosztás megtalálása, amit egy heurisztikus eljárással biztosítanak. Ez a módszer viszont nem egyenletes eloszlású, bizonyos csapatpárok esetén torzíthatja az egy csoportba kerülés valószínűségét az elméleti szempontból igazságos értékhez képest. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia KutatólaboratóriumOperációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos munkatársa a 2018-as labdarúgó-világbajnokság sorsolását elemezte ebből a szempontból. Megmutatta, hogy az alkalmazott algoritmus igazságosabb, mint 23 további lehetséges változata. Ugyanakkor hét csapat továbbjutási valószínűsége legalább fél, ebből kettőé legalább egy százalékponttal változott pusztán a nem tökéletes sorsolás miatt. Az eredményeket összegző tanulmány egy sporttudományi folyóirat, az „International Journal of Sports Science & Coaching” hasábjain jelent meg, „The fairness of the group draw for the FIFA World Cup” címmel.

A 2018-as labdarúgó-világbajnokságon résztvevő 32 válogatottat a 2017. októberi világranglista alapján négy kalapba sorolták: a rendező Oroszország és a hét legerősebb csapat került az első, a következő nyolc a második, a következő nyolc a harmadik, végül a nyolc leggyengébb a negyedik kalapba. A nyolc csoport mindegyikébe egy-egy csapat került minden kalapból.

A 32 csapat közül 5-5 Afrikából, Ázsiából, és Dél-Amerikából, 3 Észak- és Közép-Amerikából, a maradék 14 pedig Európából érkezett. Mivel különböző kontinensek válogatottjai ritkán játszanak egymás ellen, az interkontinentális mérkőzések maximalizálása céljából a szabályok előírták, hogy egy csoportba egy földrészről – Európa kivételével – legfeljebb egy csapat kerülhessen, míg európaiból legalább egy, legfeljebb viszont kettő.

A probléma

A házigazda Oroszországot automatikusan az A csoportba osztották be; ezt leszámítva a sorsolás folyamán véletlenszerű sorrendben választottak csapatokat először az első, majd a második, a harmadik, végül a negyedik kalapból. Így a korlátozó feltételek hiányában 7! x (8!)3, azaz nagyjából 3,3 x 1017 (330 billiárd) kimenetel fordulhat elő. Viszont ezek közül csak minden 161. sorsolás ad olyan megoldást, ami megfelel a szabályoknak.

Ezért a sorsolást egy Ugró módszernek nevezett algoritmussal hajtották végre: az éppen kihúzott válogatottat az alfabetikus sorrendben első olyan csoportba helyezték, amivel a hátralevő csapatok még eloszthatók maradnak a fennmaradó helyekre úgy, hogy egyetlen korlátozó feltétel se sérüljön. Az eljárás mégsem olyan egyszerű, mint elsőre tűnhet. Ha például egy afrikai csapatot szeretnénk elhelyezni, nem elég csak azokat a csoportokat kizárni, melyekben már van afrikai csapat – hiszen előfordulhat, hogy az adott válogatottat még be tudjuk osztani a feltételek sérülése nélkül, de a megmaradó csapatokat már nem.

Az Ugró algoritmus nem egyenletes eloszlású a lehetséges megoldások halmazán, azaz nem igaz az, hogy az összes megengedett csoportbeosztás azonos valószínűséggel fordul elő. Például Oroszország és a második kalapos Spanyolország pontosan 12,5%-os valószínűséggel kerül egy csoportba (pontosan akkor, ha a második kalapból elsőként húzott csapat Spanyolország), de az igazságos valószínűség csak mintegy 9,2% lenne; ez utóbbit szimulációval becsültük. Vagyis, e két csapat esetén az Ugró módszer torzítása 3,3 százalékpont (lásd az illusztráló táblázatot).

Eredmények

Mivel a kalapok húzási sorrendje tetszőlegesen választható, az Ugró algoritmusnak 4! = 24 lehetséges változata van. Első vizsgálatunkban ezeket hasonlítsuk össze az igazságtalanság mértéke (az aggregált torzítás) alapján. E tekintetben megnyugtató választ kaptunk: az 1-2-3-4 sorrend az abszolút torzítások összege alapján szignifikánsan jobb a másik 23 sorrendnél, a legrosszabbhoz (4-3-2-1) képest 47%-os javulást jelent. Vagyis – az irodalomban korábban nem vizsgált – húzási sorrend szerepe nem elhanyagolható. Természetesen az állítás nem minden mérték esetén érvényes; ha a maximális torzítást szeretnénk minimalizálni, akkor az optimális választás a 3-1-4-2 sorrend, ahol bármely két csapat azonos csoportba kerülésének valószínűsége legfeljebb 5,17 százalékpontos mértékben tér el az igazságostól.

Második elemzésünk arra fókuszált, mennyire súlyos a nem tökéletes sorsolás hatása a csapatok továbbjutási valószínűsége tekintetében. Szimulációnk szerint hét olyan válogatott található, melyek esetén legalább fél százalékponttal változott ez az érték pusztán a sorsolás módszere miatt. Közülük Oroszország több mint egy százalékpontot nyert, Mexikó viszont majdnem másfelet veszített. A döntéshozókra vár annak megítélése, ezek az eltérések indokolják-e a sorsolás módszerének felülvizsgálatát, vagy a torzítás még tolerálható mértékű.

Kép: jason charters // Unsplash