Továbbfejlesztett inkonzisztencia küszöbértékek nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra

A páros összehasonlítás mátrixok alkalmazásának egyik központi kérdése, vajon a döntéshozó következetlensége, inkonzisztenciája az elfogadható szint alatt marad-e, vagy túlzott mértékűnek tekinthető. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia KutatólaboratóriumOperációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos főmunkatársa – szerzőtársával, Ágoston Kolos Csabával (Budapesti Corvinus Egyetem) közösen – kiszámította a nem teljesen kitöltött, hiányzó elemeket tartalmazó mátrixokhoz tartozó küszöbértékeket mind a hiányzó elemek, mind azok elhelyezkedése függvényében. Az eredményeket összefoglaló tanulmány egy vezető számítástudományi folyóirat, az „Expert Systems with Applications” hasábjain jelent meg, „Refined thresholds for inconsistency: The effect of the graph associated with incomplete pairwise comparisons” címmel.

A többszempontú döntéselmélet gyakran használt eljárása a páros összehasonlítások módszere, mert így a döntéshozónak nem szükséges egyszerre az összes alternatívát számszerűen értékelnie, hanem mindig csak kettőt kell összehasonlítania. Az ezeket tartalmazó páros összehasonlítás mátrix elemei megmutatják, az adott sorban szereplő alternatíva hányszor jobb vagy fontosabb a megfelelő oszlopban szereplőnél.

Inkonzisztens és nem teljes preferenciák

A valós feladatokból származó mátrixok jellemzően inkonzisztensek: ha az A alternatíva kétszer jobb a B-nél, míg a B háromszor jobb a C-nél, akkor az A nem lesz garantáltan hatszor jobb a C-nél. Az eltérésnek a döntéshozó bizonytalansága és következetlensége mellett számos oka lehet, viszont nyilvánvaló, hogy a nagymértékű inkonzisztencia valamilyen problémára figyelmeztet, ezért fel kell ismerni és szükség esetén kezelni.

A páros összehasonlítások módszerének másik hátránya a megválaszolandó kérdések számának négyzetes függése az alternatívák számától. Például hat alternatíva mellett elég 15 összehasonlítást megadni, de kilenc alternatívánál már 36-ra növekszik ezek száma. Vagyis érdemes csak az összehasonlítások egy részét összegyűjteni, különösen a sok alternatívát tartalmazó feladatokban. Ez egészen addig nem okoz gondot, amíg az összehasonlításokat reprezentáló gráf összefüggő marad, azaz bármely két alternatíva legalább közvetlenül, más alternatívákon keresztül összehasonlítható.

Az inkonzisztencia küszöbértékeit befolyásoló tényezők

A népszerű Analytic Hierarchy Process (AHP) módszertan kidolgozója egyszerű küszöbértéket javasolt az inkonzisztencia elfogadható szintjére: az adott mátrix inkonzisztenciáját véletlen generált mátrixok átlagos inkonzisztenciájával elosztva a hányadosnak 10% alatt kell maradnia. A módszer egyik legnagyobb előnye a könnyű alkalmazhatóság; a véletlen generált mátrixok átlagos inkonzisztenciájának kiszámítása ugyan meglehetősen erőforrásigényes, de ezt elég egyszer megtenni, a kapott érték már közvetlenül beépíthető a programcsomagokba.

A nem teljesen kitöltött esetben, hiányzó összehasonlítások jelenlétében ugyanakkor jellemzően az ismeretlen elemeket változónak tekintve minimalizáljuk az inkonzisztencia szintjét. Ekkor az eredeti, teljesen kitöltött esetre vonatkozó küszöbértékek érvényüket vesztik, hiszen irreális lenne azt várni, hogy a döntéshozó a hiányzó kérdésekre minden esetben az optimális kitöltéshez tartozó válaszokat adja.

Kutatásunkban ezt a 10%-os elfogadhatósági szabályt terjesztettük ki a nem teljesen kitöltött esetre adott számú és pozíciójú hiányzó elem és alternatíva mellett generált véletlen mátrixok átlagos inkonzisztenciájának meghatározásával. A számítás rendkívül műveletigényes, mert minden véletlen mátrix esetén egy-egy sajátérték minimalizálási feladatot kell megoldani, ráadásul a lehetséges esetek száma is jelentős lehet; például hat alternatíva és hat hiányzó összehasonlítás mellett 20 különböző gráf létezik. Ezért a számítás elvégzéséhez a Debreceni Egyetem Komondor szuperszámítógépének segítségére is szükségünk volt. Eredményeink szerint a hiányzó elemek száma mellett a gráf struktúrájának hatása sem elhanyagolható, így az új küszöbértékek a korábbiaknál lényegesen pontosabbnak tekinthetők. Ez különösen akkor lehet hasznos, ha a páros összehasonlításokat adott, optimális mintázatot követve kérdezzük le.