Mennyire különböznek egy páros összehasonlítás mátrix bal- és jobboldali sajátvektorai?

A döntéselmélet gyakran használt eszköze a páros összehasonlítás. Az így adódó páros összehasonlítás mátrixok egyik legnépszerűbb súlyozási módszere a mátrix domináns jobboldali sajátvektorának használatán alapul. Ez azonban nem feltétlenül egyezik meg az azonos érveléssel kapható (inverz) baloldali sajátvektorral. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia KutatólaboratóriumOperációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos munkatársa számítógépes szimuláció segítségével hasonlította össze e két megközelítést az összehasonlítások mértani közepe által adott súlyozási eljárással. Az eredmények szerint a mértani közép általában a jobb- és baloldali sajátvektorok között, a kettőtől nagyjából egyenlő távolságra helyezkedik el, ezért észszerű kompromisszumnak bizonyulhat. A kutatást összegző, szabadon hozzáférhető cikk egy vezető operációkutatási folyóirat, a European Journal of Operational Research hasábjain jelent meg, „Right-left asymmetry of the eigenvector method: A simulation study” címmel.

A többszempontú döntési problémák megoldása során a szempontsúlyok meghatározására és az alternatívák értékelésére is gyakran használnak páros összehasonlításokat. Az alternatívákat egymással összehasonlítva, fontosságuk arányait egy mátrixba rendezve a feladat a megadott értékekhez jól illeszkedő súlyvektor kiszámítására egyszerűsödik.

Azonban a közvetlen és közvetett, más alternatívákon keresztül történő összehasonlítások eredménye jellemzően nem azonos: ha például az A alternatíva kétszer jobb B-nél, B pedig háromszor jobb C-nél, akkor A nem feltétlenül lesz hatszor jobb C-nél. A páros összehasonlítások tehát inkonzisztensek lehetnek; ebben az esetben pedig nem létezik a páros összehasonlításokat tökéletesen visszaadó súlyvektor. Az irodalomban számos eljárást javasoltak a súlyok meghatározására, a két legnépszerűbb talán az összehasonlítások mértani közepe – amely egyúttal az eltérések logaritmikus távolságösszegeit is minimalizálja –, illetve az Analytic Hierarchy Process (AHP) módszertant kidolgozó Thomas L. Saaty által ajánlott, a páros összehasonlítás mátrix domináns jobboldali sajátvektora.

Utóbbi használata azonban rögtön felvet egy érdekes matematikai problémát. A páros összehasonlítás mátrixot hagyományosan úgy szokás felírni, hogy az i-edik sor j-edik eleme a következő kérdésre válaszol: „Hányszor jobb/fontosabb az i-edik alternatíva a j-ediknél?” Természetesen a kérdést fordítva is feltehetnénk, ekkor azonban az előző mátrix helyett annak transzponáltját kapnánk. A transzponált mátrix jobboldali sajátvektora viszont az eredeti mátrix baloldali sajátvektora, az egyetlen különbség csupán a súlyok értelmének megfordulása, azaz a baloldali sajátvektor megfelelő koordinátáinak reciprokait kell tekinteni.

A kutatás újdonsága

Az irodalomban természetesen már vizsgálták a jobb- és baloldali sajátvektorok eltérését, de ezeket az eredményeket jelentősen továbbfejlesztettük:
(1) az elemzésbe bekerült egy harmadik súlyozási módszer, a mértani közép;
(2) növeltük az alternatívák maximális számát;
(3) a korábbinál jóval tágabb inkonzisztencia-intervallumot vizsgáltunk; és
(4) a rangsorfordulás mellet a súlyvektorok kardinális eltérését is számszerűsítettük.

A szimulációs módszertant szintén finomítottuk, következtetéseinket lényegesen több véletlen generált mátrixra alapoztuk, és javítottunk az összehasonlítások véletlen kiválasztásán.

Eredmények

A kutatás talán legfontosabb üzenete: az összehasonlítások mértani közepei által adott súlyvektor a domináns jobboldali és az (inverz) baloldali sajátvektor között nagyjából „félúton” helyezkedik el, különösen alacsony inkonzisztencia esetén. Ez – a kedvező axiomatikus tulajdonságain túl – egy újabb érvet szolgáltat a mértani közép módszer használata mellett. Ugyancsak kiderült, hogy az alternatívák számának emelkedése nem feltétlenül jár együtt a három súlyozási eljárás nagyobb eltérésével. Ezzel szemben a jobb- és baloldali sajátvektorok akár teljesen különböző rangsort is adhatnak, sőt, a rangsorfordulás már viszonylag távoli prioritások esetén felléphet.

Illusztráció: Joshua Sortino // Unsplash