Egy meglepő eredmény a hiányzó páros összehasonlítások becsléséről
A döntéselmélet gyakran használt eszköze a páros összehasonlítás, mert így a döntéshozónak egyszerre csak két alternatíva relatív értékelését szükséges megadnia. A páros összehasonlítások száma azonban négyzetesen növekszik az alternatívák számával, ezért sokszor nincs lehetőség minden páros összehasonlítás összegyűjtésére, a hiányzó értékeket a meglevők alapján kell becsülni. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia KutatólaboratóriumOperációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos munkatársa – szerzőtársaival, Ágoston Kolos Csabával (Budapesti Corvinus Egyetem) és Bozóki Sándorral (HUN-REN SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem) közösen – két ilyen kitöltési eljárást hasonlított össze: megmutatták, hogy négy alternatíva esetén a két optimalizáló módszer garantáltan azonos eredményt ad. A kutatást összegző, szabadon hozzáférhető cikk az Annals of Operations Research operációkutatási folyóirat hasábjain jelent meg, „On the coincidence of optimal completions for small pairwise comparison matrices with missing entries” címmel.
A többszempontú döntési problémák megoldásának egyik bevált megközelítése a páros összehasonlítások használata, mind a szempontsúlyok meghatározására, mind az alternatívák értékelésére. Az alternatívákat páronként értékelve, fontosságuk arányait egy mátrixba rendezve a feladat a megadott értékekhez jól illeszkedő súlyvektor meghatározására egyszerűsödik.
Ennek során két kihívással szembesülhetünk. Egyrészt, a közvetlen és közvetett, más alternatívákon keresztül történő összehasonlítások eredménye jellemzően nem azonos: ha például az A alternatíva kétszer jobb B-nél, B pedig háromszor jobb C-nél, akkor A nem feltétlenül lesz hatszor jobb C-nél. A páros összehasonlítások tehát inkonzisztensek lehetnek, ennek mértéke különböző inkonzisztencia indexekkel számszerűsíthető. Másrészt, a páros összehasonlítások száma az alternatívákénak négyzetes függvénye: három alternatíva esetén három, négynél hat, ötnél 10, nyolcnál viszont már 28 páros összehasonlítás elvégzése szükséges. Ezért egyre gyakoribb a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok alkalmazása. Ilyen esetekben a hiányzó értékeket a meglevők alapján becsülik meg, jellemzően az inkonzisztencia szintjének minimalizálásával.
A vizsgált probléma
A hiányzó páros összehasonlítások megadására szolgáló népszerű eljárások közé tartozik a logaritmikus legkisebb négyzetek módszere és a sajátvektor módszer. Előbbi a súlyvektor megfelelő komponensei és az ismert páros összehasonlítások logaritmikus távolságösszegét minimalizálja, míg utóbbi a páros összehasonlítás mátrix domináns sajátértékét (az inkonzisztencia egyfajta mértékét) minimalizálja az ismeretlen értékek függvényében. Mindkét módszer pontosan akkor vezet egyértelmű megoldásra, ha az ismert összehasonlításokat reprezentáló gráf összefüggő, azaz bármely két alternatíva legalább közvetve, más alternatívákon keresztül összehasonlítható egymással.
A kutatás azzal a kérdéssel foglalkozott, vajon a két, meglehetősen eltérő alapokon nyugvó megközelítés mikor eredményez azonos optimális kitöltést.
Az elért eredmény
Három alternatíva esetén az összefüggőség miatt csak egy összehasonlítás hiányozhat, de ekkor a mátrixnak létezik konzisztens kitöltése, ami egyúttal mindkét eljárás minimuma is. Négy alternatívánál már csak akkor garantált a konzisztens kitölthetőség, ha három ismeretlen összehasonlítás van. Ráadásul az sem mindegy, vajon két hiányzó elem esetén azok egy sorban (és oszlopban) helyezkednek-e el, vagy egymástól függetlenek. Véletlen generált mátrixok vizsgálata során azonban feltűnt, hogy a logaritmikus legkisebb négyzetek módszere és a sajátvektor módszer mindig ugyanazt a kitöltést adja – amit sikerült analitikus eszközökkel is bizonyítani. Bár az optimális kitöltések megegyeznek, maguk a súlyvektorok négy alternatíva esetén jellemzően különböznek. Tehát csak az optimális kitöltésig működik egyformán a két módszer. Az igazolt állítás „éles”, azaz legalább öt alternatíva és csupán egyetlen hiányzó elem esetén a két kitöltési eljárás optimuma már különböző lehet.
A matematikai eredmény hasznos axiómaként szolgálhat az ismeretlen páros összehasonlítások becslésére szolgáló módszerek osztályozásában. Az irodalomban több mint tíz különböző megközelítést javasoltak, de ezek szerint kijelenthető: minden olyan módszer használata vitatható, amely a két, e kutatásban vizsgálttól eltérő kitöltést ad négy alternatíva és egy vagy két hiányzó elem esetén.
